2023-70 玻璃杯与彩珠

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：等差数列
讲义正确率：32%
PDF答案：D
PDF思路：难点在于识别考察本质是等差数列，识别后只需一步计算

题干

桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中都放有彩色珠子，共有 45 颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取 1 颗放入空杯，则只需调整玻璃杯的位置，即可与最初完全一样。问桌上原来共有几只玻璃杯？

选项

A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

说人话版题意

开始时有一只空杯，其他杯里珠子数不同。每个非空杯都给空杯 1 颗之后，只要重新排位置，就和原来的状态一模一样。问一共有多少杯。

实战思维

这种“变一下、重排后和原来一样”的题，第一反应就是想“原来那组数一定长什么样”。别急着设一堆未知数，先猜结构。

详细拆解

设一共有 $n$ 只杯子。

原来珠子数构成一个多重集合：

$0, a 1, a 2, ..., a (n - 1)$

操作后：

原来空杯得到 $n - 1$ 颗
其余每只杯子都减少 1 颗

所以变成：

$n - 1, a 1 - 1, a 2 - 1, ..., a (n - 1) - 1$

调整位置后与原来完全一样，说明这两组数是同一个集合。

最自然也唯一稳定的结构就是：

$0, 1, 2, 3, ..., n - 1$

因为整体“减 1 再把最大的放到最前面”，还能得到同一组数。

于是总珠子数为：

$1 + 2 + ... + (n - 1) = 45$

即：

$n (n - 1) /2 = 45$

$n (n - 1) = 90$

解得：

$n = 10$

对照答案

独立解题后得到的核心结论：共有 $10$ 只杯子，对应 PDF 与回忆版选项 D
PDF 标注答案：D

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“等差数列”，正确率是 32%。讲义主推的做法是“难点在于识别考察本质是等差数列，识别后只需一步计算”。原讲义这里没有额外的选项提醒，核心就是按给定思路把主方法走顺。

更快做法

只要看出原始结构必须是 $0, 1, 2, ..., n - 1$ ，后面就是等差数列求和。

易错点

一开始把每只杯子的珠子数都设成不同变量，结果越设越乱
没看出“重排后不变”意味着数列结构本身非常规整

复盘一句话

有些题不是先算出来结构，而是先看出结构再去算。

关联

验证记录

题干来源：PDF
选项来源：2023 福建行测考生回忆版，第 12 页
已验证：共有 $10$ 只杯子，对应 PDF 与回忆版选项 D

26省考数量题库

探索

玻璃杯与彩珠