2023-63 甲商场打折天数更多的概率

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：概率
讲义正确率：38%
PDF答案：C
PDF思路：法一：常规做不易法二：易猜，要有比赛问题的概率求解思路

题干

甲、乙两个商场营业日每天是否打折的概率均为 $1/2$ 。某周，甲商场营业 7 天，而乙商场营业 6 天、休业 1 天。问在这一周，甲商场打折天数比乙商场多的概率为多少？

选项

A. $1/6$
B. $1/3$
C. $1/2$
D. $7/13$

说人话版题意

甲比乙多营业 1 天，而且每天打折概率都一样。问这一周里，甲打折天数更多的概率是多少。

实战思维

这题最稳的是拆成“甲前 6 天”和“第 7 天”。前 6 天时，甲和乙是完全对称的；多出来的第 7 天就是打破平衡的那一手。

详细拆解

设：

$X$ ：甲前 6 天的打折天数
$Y$ ：乙 6 天的打折天数
$Z$ ：甲第 7 天是否打折， $Z$ 取 0 或 1，且概率各 $1/2$

那么甲一周打折天数是：

$X + Z$

乙一周打折天数是：

$Y$

所求概率为：

$P (X + Z > Y)$

拆开看：

当 $X > Y$ 时，无论 $Z$ 是多少都成立
当 $X = Y$ 时，只有 $Z = 1$ 才成立

所以：

$P (X + Z > Y) = P (X > Y) + P (X = Y, Z = 1)$

由于 $X$ 和 $Y$ 同分布，所以：

$P (X > Y) = P (X < Y) = (1 - P (X = Y)) /2$

而：

$P (X = Y, Z = 1) = P (X = Y) \times 1/2$

于是：

$P = (1 - P (X = Y)) /2 + P (X = Y) /2 = 1/2$

对照答案

独立解题后得到的核心结论：利用对称性得概率 $1/2$ ，对应 PDF 与回忆版选项 C
PDF 标注答案：C

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“概率”，正确率是 38%。讲义主推的做法是“法一：常规做不易法二：易猜，要有比赛问题的概率求解思路”。原讲义这里没有额外的选项提醒，核心就是按给定思路把主方法走顺。

更快做法

核心就一句：前 6 天对称，多出来的第 7 天正好把“平手”的一半推向甲赢，所以结果直接是 $1/2$ 。

易错点

看到概率题就想列一长串二项分布
忽略“前 6 天完全对称”这个最强信息

复盘一句话

概率题最值钱的往往不是计算，而是先发现对称。

关联

验证记录

题干来源：PDF
选项来源：2023 福建行测考生回忆版，第 10 至 11 页
已验证：利用对称性得概率 $1/2$ ，对应 PDF 与回忆版选项 C

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