圆柱四等分黑白面积比

2024-67 圆柱四等分黑白面积比

原始信息

• PDF主源：是
• 讲义题型：纯几何计算
• 讲义正确率：48%
• PDF答案：B
• PDF思路：会背圆柱体侧面积公式

题干

一个白色圆柱体零件的底面半径是高的 $1.5$ 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿图示虚线方向切割为 $4$ 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍？（$\pi \approx 3.14$）

选项

• A. 不到 $1.1$ 倍
• B. $1.1$ 至 $1.2$ 倍之间
• C. $1.2$ 至 $1.3$ 倍之间
• D. $1.3$ 倍以上

图示参考

说人话版题意

圆柱原本外表面涂黑，切开后新增的切面是白色。要比较单个小块的黑色面积和白色面积。

实战思维

别被立体图吓住。单个部分的黑色面积，来自“原来暴露在外面的面”；白色面积，来自“切割后新暴露出来的面”。只要把这两类面分清，题就落地了。

详细拆解

设圆柱高为 $h$，底面半径为 $r$。

已知：

$r=1.5h$

切成 4 个完全相同部分，可理解为：

• 沿直径竖切一次
• 沿中间水平切一次

所以单个部分包含：

黑色面积

1. 原圆柱侧面积的 $1/4$：

$(2\pi rh)/4=\pi rh/2$

2. 原上底或下底面积的 $1/2$：

$\pi r^2/2$

所以黑色面积：

$S黑=\pi rh/2+\pi r^2/2$

白色面积

1. 竖切面是一个长方形，面积：

$2r\times h/2=rh$

2. 水平切面是一个半圆，面积：

$\pi r^2/2$

所以白色面积：

$S白=rh+\pi r^2/2$

代入 $r=1.5h$：

$S黑=\pi \times 1.5h\times h/2+\pi \times (1.5h{)}^2/2$

$=0.75\pi h^2+1.125\pi h^2=1.875\pi h^2$

$S白=1.5h^2+1.125\pi h^2$

所求比值：

$S黑/S白=1.875\pi /(1.5+1.125\pi )$

取 $\pi =3.14$，得：

约为 $1.17$

落在 $1.1$ 到 $1.2$ 倍之间。

对照答案

• 独立解题后得到的核心结论：比值约 $1.17$，对应 PDF 与回忆版选项 B
• PDF 标注答案：B

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“纯几何计算”，正确率是 48%。讲义主推的做法是“会背圆柱体侧面积公式”。原讲义这里没有额外的选项提醒，核心就是按给定思路把主方法走顺。

更快做法

只要把“哪部分原来在外面，哪部分是切出来的新面”分清，这题其实就是公式代入。

易错点

• 把一个小块看成有完整圆面
• 分不清黑面来自原表面，白面来自切面

同类题识别

立体切割题里，最重要的不是空间想象，而是“面来源分类”。

复盘一句话

立体几何题能拆成面积账本，就别用纯脑补硬扛。

关联

• 2024-MOC
• 题型MOC-几何
• 方法MOC-代入法

验证记录

• 题干来源：PDF
• 图示来源：2024 福建行测考生回忆版，第 12 页
• 选项来源：2024 福建行测考生回忆版，第 12 页
• 已验证：比值约 $1.17$，对应 PDF 与回忆版选项 B