2021-68 中点北行到甲丙线距离

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：行程+几何
讲义正确率：45%
PDF答案：C
PDF思路：先由 $10$ 、 $24$ 、 $26$ 判断直角，再利用相似求距离
PDF备注：答案为范围，关键是先认出 $10$ 、 $24$ 、 $26$ 构成直角三角形

题干

乙地在甲地的正东方 $26$ 千米处，丙地在甲、乙两地连线的北方，且与甲、乙的距离分别为 $24$ 千米和 $10$ 千米。一辆车从甲、乙两地中点位置出发向正北方行驶，在经过甲丙连线时，与丙地的距离在以下哪个范围内？

选项

A. 不到 $8$ 千米
B. $8$ 到 $9$ 千米之间
C. $9$ 到 $10$ 千米之间
D. $10$ 千米以上

说人话版题意

先把甲乙看成一条水平线，丙在上方。车从甲乙的中点竖直往北开，穿过甲丙这条边时，问它离丙还有多远。

这题本质不是行程题，而是一个隐藏得比较深的几何位置关系题。

实战思维

看到边长是 $10$ 、 $24$ 、 $26$ ，第一反应就应该是：

1 0^{2} + 2 4^{2} = 2 6^{2}

也就是说甲、乙、丙构成的是直角三角形。只要这一步看出来，后面就能用投影和相似把长度顺下去。

详细拆解

设：

甲地为 $A$
乙地为 $B$
丙地为 $C$
甲乙中点为 $M$
车向正北行驶，与 $A C$ 相交于点 $P$

题目给出：

A B = 26, A C = 24, BC = 10

因为：

1 0^{2} + 2 4^{2} = 2 6^{2}

所以三角形 $A BC$ 是以 $C$ 为直角的直角三角形， $A B$ 是斜边。

第一步：作垂线并求投影长度

设从 $C$ 向 $A B$ 作垂线，垂足为 $D$ 。

在直角三角形里，直角边在斜边上的投影满足：

A D = \frac{A C ^{2}}{A B}

所以：

A D = \frac{2 4 ^{2}}{26} = \frac{576}{26} = \frac{288}{13}

又因为 $M$ 是中点，所以：

A M = 13

第二步：利用平行得到相似

车从中点向正北行驶，所以 $MP$ 垂直于 $A B$ 。

而 $C D$ 也垂直于 $A B$ ，因此：

MP ∥ C D

于是三角形 $A MP$ 与三角形 $A C D$ 相似。

所以对应边成比例：

\frac{A P}{A C} = \frac{A M}{A D}

代入数据：

\frac{A P}{24} = \frac{13}{288/13} = \frac{169}{288}

于是：

A P = 24 \times \frac{169}{288} = \frac{169}{12}

第三步：求车到丙地的距离

因为点 $P$ 在 $A C$ 上，所以车到丙地的距离就是：

CP = A C - A P

即：

CP = 24 - \frac{169}{12} = \frac{288 - 169}{12} = \frac{119}{12}

约为：

\frac{119}{12} \approx 9.92

所以它落在：

9 到 10 千米之间

对照答案

独立解题后得到的核心结论：车经过甲丙连线时，距丙地约 $9.92$ 千米。
PDF 标注答案：C

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“行程+几何”，正确率是 45%。讲义强调要先看出 $10$ 、 $24$ 、 $26$ 的直角关系，这就是这题最核心的识别点。真要算的时候，工作量其实不大，难的是你能不能先把它认成几何题。

更快做法

如果你对坐标比较熟，也可以把：

$A$ 设为 $(0, 0)$
$B$ 设为 $(26, 0)$

再求出 $C$ 的坐标，最后用直线方程求交点。只是考场上通常还是“直角 + 相似”更顺、更省算。

易错点

没看出 $10$ 、 $24$ 、 $26$ 是勾股数
以为“向正北走”就是到丙地的竖直距离，直接拿高去减
相似关系找对了，却把 $A P$ 当成最终答案，忘了还要算 $CP$

复盘一句话

这题真正拉开差距的不是计算，而是你能不能在第一眼认出它是直角三角形。

关联

验证记录

题干来源：PDF
选项来源：2021 福建行测考生回忆版，第 11 至 12 页
已验证：重算得到 $CP = \frac{119}{12} \approx 9.92$ ，对应 PDF 与回忆版选项 C

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