2021-69 圆锥模具钻孔剩余体积
原始信息
- PDF主源：是
- 讲义题型：几何计算/相似
- 讲义正确率：19%
- PDF答案：D
- PDF思路：画图后用相似关系分拆体积
- PDF备注：画图构建思路耗费时间，属于低性价比题
题干
一个底面半径为 厘米，体积为 的实心正圆锥体模具水平放置在台面上，并用一个钻孔半径为 厘米的钻头在模具上钻出一个垂直于底面的洞直达底部。那么模具剩余部分的体积至少为：
选项
- A.
- B.
- C.
- D.
说人话版题意
这是一个圆锥被沿轴线打洞的问题。看起来像立体几何，其实只要把它切成纵截面，你会发现被挖掉的部分可以拆成“一个圆柱 + 一个小圆锥”。
实战思维
这题别直接在脑子里想三维。先做一件事：
把圆锥沿轴线切开，改看二维剖面。
一旦剖开，你就能看到钻头半径是 、原圆锥底面半径是 ，它们的线性比是：
后面就只剩相似和体积拆分。
详细拆解
设大圆锥的高为：
则原圆锥体积为：
第一步：先看被钻掉部分的结构
钻孔方向垂直于底面，也就是沿圆锥轴线方向贯穿。
在纵截面里，孔的半径是 ，原圆锥底面半径是 ，所以顶部那个被切掉的小圆锥与原圆锥相似，线性比为：
所以这个小圆锥的高为：
那么从底面到这个小圆锥底面的那一段，就是一个半径为 、高为：
的圆柱。
也就是说，被挖掉的部分等于：
- 一个半径为 、高为 的圆柱
- 再加一个半径为 、高为 的小圆锥
第二步：算小圆锥体积
因为线性比是 ，体积比就是：
所以小圆锥体积为：
第三步：算圆柱体积
圆柱体积为：
把它换成用 表示：
所以圆柱部分体积为：
第四步：求剩余体积
被挖掉总体积为：
剩余体积为：
即：
对照答案
- 独立解题后得到的核心结论：模具剩余体积为 。
- PDF 标注答案：D
对照 PDF 原始讲义
这道题在原始 PDF 里被归为“几何计算/相似”，正确率只有 19%。讲义提醒这题画图会耗时间，这个提醒很重要。因为它不是难在公式，而是难在你要先把“被钻掉的立体”拆成对的两块。
更快做法
如果你对“等比例放缩”够熟，可以直接记：
- 小圆锥占总体积
- 圆柱再占
然后一步得到剩余占比 。但前提是你已经看清那一段圆柱的高是 。
易错点
- 没把被挖掉部分拆成“圆柱 + 小圆锥”
- 看出相似了，却把线性比直接当成体积比
- 算出挖掉体积后，忘了最后还要求剩余体积
同类题识别
圆锥、圆台、球缺这类立体题，一旦出现“打孔”“截去”“浮出水面”，通常第一步不是算体积，而是先画纵截面，把它变成相似图形题。
复盘一句话
三维题别硬想三维，先剖开，你就会发现本质还是相似。
关联
验证记录
- 题干来源：PDF
- 选项来源：2021 福建行测考生回忆版，第 12 页
- 已验证：重算得到剩余体积 ，对应 PDF 与回忆版选项 D