2022-67 8位密码倍数条件

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：基础排列组合
讲义正确率：46%
PDF答案：B
PDF思路：难点在于很多人忘记了因式分解
PDF备注：答案为范围

题干

某学习软件要求用户使用字母和数字组合的 8 位密码。赵某使用 D、E、F、W 4 个大写字母（不重复使用）和 4 个不同非零数字的组合作为自己的密码，要求数字放在后四位，且 4 个数字的乘积须是 320 的倍数。那么这样的密码有多少种不同的可能？

选项

A. 不到 1000 种
B. 1000～3000 种之间
C. 3000～8000 种之间
D. 超过 8000 种

说人话版题意

前四位放 4 个字母，后四位放 4 个不同的非零数字。真正的门槛在后四位：题目不是让你随便挑数字，而是要求这 4 个数字的乘积必须是 320 的倍数。

实战思维

看到“乘积是某个数的倍数”，第一反应不是排列组合，而是先把那个数分解质因数。

$320 = 2^{6} \times 5$

只有把“要凑什么因子”看明白，后面才知道该选哪些数字。

详细拆解

第一步：先排字母

前四位是 D、E、F、W 四个不同字母，全排列共有：

$4! = 24$

第二步：分析数字条件

后四位是 4 个不同的非零数字，且乘积是 $320$ 的倍数。

因为：

$320 = 2^{6} \times 5$

所以这 4 个数字的乘积里，必须同时包含：

至少一个因子 $5$
至少六个因子 $2$

由于数字不能为 0，且必须互不相同，所以能提供因子 $5$ 的只能是：

$5$

因此 4 个数字里必须有 $5$ 。

剩下三个数字，要从 $1$ 到 $9$ 中其余数字里挑，并且它们提供的因子 $2$ 总数至少是 $6$ 。

各数字能提供的因子 $2$ 数量如下：

$2$ 提供 $1$ 个
$4$ 提供 $2$ 个
$6$ 提供 $1$ 个
$8$ 提供 $3$ 个

要凑出至少 $6$ 个因子 $2$ ，唯一可能是：

$8, 4, 2$
$8, 4, 6$

所以数字集合只有两种：

${5, 8, 4, 2}$
${5, 8, 4, 6}$

第三步：排数字

每一种数字集合都可以在后四位任意排列：

$4! = 24$

所以数字部分共有：

$2 \times 24 = 48$

第四步：合并字母与数字

总密码数为：

$24 \times 48 = 1152$

$1152$ 落在 $1000$ 到 $3000$ 之间。

对照答案

独立解题后得到的核心结论：密码共有 $1152$ 种。
PDF 标注答案：B

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“基础排列组合”，正确率 46%。讲义提醒“很多人忘记先做因式分解”，这正是本题核心。你如果一上来就枚举四个数字，会很累；先看清 $320$ 的因子结构，范围一下就缩死了。

更快做法

其实后四位不是“找 4 个数字”，而是“找 1 个 5，再找能凑满 $2^{6}$ 的三个数字”。这时你几乎一眼就该想到必须把 $8$ 和 $4$ 抓住。

易错点

忘了非零数字里只有 $5$ 能稳定提供因子 $5$
把“倍数”理解成“等于 320”
只会枚举数字，不先做质因数分解

复盘一句话

这题先做因式分解，再做排列组合，顺序不能反。

关联

验证记录

题干来源：PDF
选项来源：2022 福建行测考生回忆版，第 12 页
已验证：独立解题得到 $1152$ 种，落在 B 项范围内

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