2022-70 圆锥浮水高度范围

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：比例-相似几何
讲义正确率：41%
PDF答案：C
PDF思路：看到圆锥就要想到等比例放缩
PDF备注：答案为范围

题干

一个高为 10 厘米，底面半径为 5 厘米的圆锥体塑料零件置于水中，底面朝上且与水面平行，其浮出水面部分的高为 2 厘米。那么当该零件底面朝下且与水面平行置于水中时，浮出水面部分的高在以下哪个范围内？（零件始终不接触水底）

选项

A. 不到 6 厘米
B. 6～7 厘米之间
C. 7～8 厘米之间
D. 超过 8 厘米

说人话版题意

同一个圆锥，换了个朝向继续漂在水里。因为同一个物体浮力平衡时排开水的体积不变，所以两种朝向下“没入水中的体积”应该相同。题目问的就是翻过来以后，露出水面的高度落在哪个区间。

实战思维

这题最重要的不是公式多，而是先抓住一个物理事实：

同一个物体在水里漂浮时，浸没体积对应的浮力不变。

于是两种放法下，水下体积相等。剩下就是圆锥的相似比例。

详细拆解

圆锥总高为 $10$ ，底面半径为 $5$ ，所以总体积为：

$V_{总} = \frac{1}{3} π \times 5^{2} \times 10 = \frac{250 π}{3}$

第一种放法：底面朝上

浮出水面的高度为 $2$ 厘米，说明水下部分是一个高为 $8$ 的小圆锥。

因为圆锥相似，半径也按比例缩小为：

$5 \times \frac{8}{10} = 4$

所以浸没体积为：

$V_{浸} = \frac{1}{3} π \times 4^{2} \times 8 = \frac{128 π}{3}$

第二种放法：底面朝下

设翻转后浮出水面的高度为 $x$ 厘米。

这时浮出水面的是上方一个小圆锥，高为 $x$ ，其底面半径按相似比为：

$\frac{x}{2}$

所以这个露出水面的小圆锥体积为：

$\frac{1}{3} π \times (\frac{x}{2})^{2} \times x = \frac{π x ^{3}}{12}$

那么浸没体积就是：

$\frac{250 π}{3} - \frac{π x ^{3}}{12}$

由于两种放法的浸没体积相同，所以：

$\frac{250 π}{3} - \frac{π x ^{3}}{12} = \frac{128 π}{3}$

消去 $π$ ，两边同乘 $12$ ：

$1000 - x^{3} = 512$

$x^{3} = 488$

因为：

$7^{3} = 343, 8^{3} = 512$

所以：

$7 < x < 8$

即浮出水面部分的高在 $7$ 到 $8$ 厘米之间。

对照答案

独立解题后得到的核心结论：翻转后露出水面的高度在 $7$ 到 $8$ 厘米之间。
PDF 标注答案：C

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“比例-相似几何”，正确率 41%。讲义提醒“看到圆锥就要想到等比例放缩”，非常关键。你只要先意识到圆锥截出来的还是相似圆锥，这题就从一个看着很唬人的漂浮题，变回标准体积题。

更快做法

第一步不用算总浮力，只要记住“浸没体积相同”。第二步看到高度从 $10$ 缩到 $8$ ，半径同步从 $5$ 缩到 $4$ ，就能很快把第一种放法的浸没体积定死。

易错点

误以为第一种放法水下部分是圆台
忘了半径也要按高度同比例变化
第二种放法里把露出水面的部分体积写错

复盘一句话

看见圆锥，先想相似；看见漂浮，先想浸没体积不变。

关联

验证记录

题干来源：PDF
选项来源：2022 福建行测考生回忆版，第 12 页
已验证：独立解题得到露出水面的高度在 $7$ 到 $8$ 厘米之间，对应 PDF 与回忆版选项 C

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