梯形阴影面积

2025-74 梯形阴影面积

原始信息

• PDF主源：是
• 讲义题型：纯几何计算
• 讲义正确率：32%
• PDF答案：D
• PDF思路：辅助线计算（涉及知识点：三角形中 位线，梯形面积公式）
• PDF备注：答案带根号但不选根号

题干

某梯形区域 $ABCD$ 的俯视图如下图所示，$AB$、$BC$、$AD$ 长度相等，且为 $CD$ 长度的一半，$E$、$F$、$G$ 分别为所在边的中点。现打算在阴影区域建艺术广场，如果梯形 $ABCD$ 的总面积为 $120$ 亩，问艺术广场的面积为多少亩？

选项

• A. 80
• B. $50\surd 3$
• C. $40\surd 3+30$
• D. 100

图示参考

说人话版题意

外面是一个梯形，里面通过三个中点连线切出一个阴影区域。已知整个梯形面积是 120，问阴影占多少。

实战思维

这题不建议直接盯着阴影多边形算。最稳的办法是：先把外梯形设成规则坐标，再直接算阴影区域面积比例。因为题干给了很多“边相等、是另一边一半、中点”这种坐标法友好信息。

详细拆解

设：

• $CD=2x$
• 因为 $AB$、$BC$、$AD$ 都等于 $CD$ 的一半，所以 $AB=BC=AD=x$

把梯形放到坐标系中：

• $D(0,0)$
• $C(2x,0)$
• $A(x/2,h)$
• $B(3x/2,h)$

由 $AD=x$ 可得：

$(x/2{)}^2+h^2=x^2$

$h=x\surd 3/2$

于是整个梯形面积：

$(AB+CD)\times h/2=(x+2x)\times h/2=3xh/2$

中点坐标为：

• $E(x/4,h/2)$
• $F(x,h)$
• $G(7x/4,h/2)$

阴影区域是五边形 $D-E-F-G-C$。

用坐标法或鞋带公式可得阴影面积：

$5xh/4$

所以阴影面积与整个梯形面积之比为：

$(5xh/4)/(3xh/2)=5/6$

已知梯形总面积是 $120$，所以阴影面积是：

$120\times 5/6=100$

对照答案

• 独立解题后得到的核心结论：重算得到阴影面积 $100$，对应 PDF 与回忆版选项 D
• PDF 标注答案：D

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“纯几何计算”，正确率是 32%。讲义主推的做法是“辅助线计算（涉及知识点：三角形中 位线，梯形面积公式）”。讲义还特别提示“答案带根号但不选根号”，这部分更像考场提醒，作用是帮你在做题时少走弯路。

更快做法

如果几何直觉够强，也可以把阴影看成“整个梯形减去左右两个小三角形”，最后一样会得到 $5/6$。

易错点

• 把阴影图形认错
• 只会背梯形面积公式，不会把“中点”转成比例关系

同类题识别

图上出现中点、等腰、边长比例时，坐标法往往比纯几何硬推更稳。

复盘一句话

这题真正的关键不是面积公式，而是敢不敢把图放进坐标系。

关联

• 2025-MOC
• 题型MOC-几何
• 方法MOC-辅助线

验证记录

• 题干来源：PDF
• 图示来源：PDF页面截图
• 选项来源：2025 福建行测考生回忆版，第 13 页
• 已验证：重算得到阴影面积 $100$，对应 PDF 与回忆版选项 D