2024-68 湖泊绕岛最短路径

原始信息

PDF主源：是
讲义题型：几何问题
讲义正确率：36%
PDF答案：C
PDF思路：对辅助线构建比较熟练，运用勾股定理
PDF备注：三个答案带根号，B 为整数

题干

一个半径 300 米的圆形湖泊中有一个半径 100 米的圆形人工岛，该人工岛的中心在湖泊中心的正西方 150 米处。甲从湖正北的 A 点开船出发，绕行人工岛西侧到达正南的 B 点。如果保持最短路线行驶，那么行驶多少米后甲到达人工岛的岸边？

选项

A. $150\sqrt5 - 100$
B. $300$
C. $50\sqrt41$
D. $200\sqrt3$

图示参考

2024题图-68局部裁图

说人话版题意

从湖上方的 A 点出发，想绕过左边小岛到南边 B 点。最短路线一定会先直着开到小岛的切点，所以题目问的其实是“A 到小岛切点”的长度。

实战思维

一看到“最短路线绕圆”，就该想到切线。因为只要路线接触圆而又最短，接触点一定是切点。

详细拆解

设大湖中心为 $O (0, 0)$ ，则：

$A$ 在正北，所以 $A (0, 300)$
人工岛中心在正西方 150 米处，记为 $I (- 150, 0)$
人工岛半径为 $100$

要求甲从 A 到人工岛岸边的最短距离，其实就是从 A 向小圆作切线的切线长。

先求：

$A I = \sqrt [(150)^{2} + (300)^{2}] = \sqrt (22500 + 90000) = 150\sqrt5$

切线长公式：

$A T = \sqrt (A I^{2} - 10 0^{2})$

$= \sqrt [(150\sqrt5)^{2} - 10 0^{2}]$

$= \sqrt (112500 - 10000)$

$= \sqrt102500$

$= 50\sqrt41$

对照答案

独立解题后得到的核心结论：切线长 $50\sqrt41$ ，对应 PDF 与回忆版选项 C
PDF 标注答案：C

对照 PDF 原始讲义

这道题在原始 PDF 里被归为“几何问题”，正确率是 36%。讲义主推的做法是“对辅助线构建比较熟练，运用勾股定理”。这句提醒说明选项外形本身就能提供排除信息，先看根号、整数、范围这些表面特征，往往能少算很多。

更快做法

这题真正要的不是整条绕行路线，只是“碰到岛岸之前走了多远”，所以切线长一步到位。

易错点

误以为要算整段路线
忽略“最短路线”这四个字对应的是切线

复盘一句话

绕圆最短路题，读懂“先走切线”就赢了一半。

关联

验证记录

题干来源：PDF
图示来源：2024 福建行测考生回忆版，第 13 页
选项来源：2024 福建行测考生回忆版，第 13 页
已验证：切线长 $50\sqrt41$ ，对应 PDF 与回忆版选项 C

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